新竹市

無謀では無いと思います。
帰りのバス（獅山線:5700）を「竹東遊客中心」で下車した場合、內灣/六家線との接続でロスがあるかもです。
もしかすると、そのまま終着の「竹北火車站」までバス（獅山線:5700）で行って、
臺鐵には竹北から新竹まで乗車した方が良いかもしれません。（竹東動漫園區や竹東駅舎はスルーですが）
バスの時刻表
http://www.gobus.com.tw/2014/old/lionback.html
臺鐵の時刻表
http://163.29.3.98/FullTimeTable/20170906/內灣(六家)線.pdf
http://163.29.3.98/FullTimeTable/20170906/基隆→新竹.pdf 

10時頃に新幹線で台北を出て北埔老街へ行き
帰りは台湾鉄道で17時頃に台北へ戻ってくる
ということですよね？

以下、時間を組んでみました（週末ダイヤです）

＜行き＞
台北を新幹線で出発　09:46　→　新竹　10:21
台湾好行バス　10:49 　→ 北埔老街　 11:32

＜帰り＞
北埔老街から台湾好行バス　13:47 →　竹東遊客中心 14:04
竹東駅　14:12　→　竹中駅　14:27
竹中駅　15:07　→　新竹駅 15:21
新竹駅　自強号　15:41　→　台北駅 16:51

なびおやじ様のおっしゃる帰り、この時間は内湾線から
新竹駅への直通がないので竹東駅から内湾線に乗ったら
新竹駅へ行くには竹中駅で必ず乗り換えないといけません。
なのでちょっと時間がかかります。

あと北埔老街の滞在時間、2時間では足らないと思います。
客家料理を食べてすぐ帰るのでいいならいいのですけど。
帰りも新幹線ではだめですか？ 

なびおやじ様、boguibogui様

早速のコメント、また乗り継ぎの時間まで調べて頂き、ありがとうございます!!
北埔のついでに、できれば新竹市街地も散策したいと思いましたが
この時間縛りでは厳しいのですね。
もう少し帰る時間に余裕をもたせるか、
北埔から素直に高鐵新竹站に戻って新幹線で帰るか…。
ご意見を参考に、目的をもっと絞って計画を立ててみます。 

上記お二人の方よりアドバイスを頂いている通りですが、タクシーを利用する方法も如何でしょうか。
かなりの無駄な時間が省けそうな気がします。

1.臺北轉運站　4F/國光客運 1820線(1821線)台北-竹東　　：運賃…新台幣150元
(1)1820線時刻表…http://www.kingbus.com.tw/ticketPriceResult.php?sid=119
　(2)1821線時刻表…http://www.kingbus.com.tw/ticketPriceResult.php?sid=121
　※違いは、1821線は途中、高速3号を降りて省道(一般道路)を降りて、また高速3号線に乗りなおします。
　　その為、1820線と比べますと30分程度の時間ロスがあります。
　　1820線に乗車されると、竹東までは約1時間です。

2.東寧路(Watsons前)で下車。　
　降りてから、バスの後ろ方向に新竹客運 竹東總站があります。
　その横に、いつも1～２台はタクシーが停まっています。　
　『北埔老街』と書いたメモを見せると理解してくれます。
　運賃は、概ね新台幣230元程度で、15～20分程度で到着すると思います。

もし、新竹市内観光も入れたいようでしたら、
北埔老街からもタクシーを利用されて、台鐵竹東車站か新竹客運/下公館站まで乗車されるとよろしいかと思います。
新竹客運/下公館站からは15～20分間隔で、台鐵新竹車站前まで1時間程度で行けるバスが出ています。(悠遊卡も利用可能です)
台鐵竹東車站か新竹客運/下公館站に行かれるかは、その時の時間と相談されて下さい。
台鐵竹東車站から內灣線の時刻表などの件は、上記お二人より頂いていますので割愛いたします。

【参考資料】
■國光客運/東寧路站(Google Street View)…https://goo.gl/Xpga8X
　上記URLで表示される写真の後ろ(写真でいえば右側)に新竹客運/竹東總站があります。
　降車ベルは、朝陽路站を出発して直ぐに押すといいと思います。
　目安は、朝陽路站を出発して直ぐ目の前にある学校(バスのフロントガラスからは白色のキリスト像が見えます)を
　通過するくらいがちょうどいいと思います。
■國光客運の車内は、無料の4G Wifiが設置されています。
　速度も遅くないと思いますので、非常に便利です。
■勿論、上記お二人より頂いている様に、高鐵新竹站-(2Fより連絡橋があります)-台鐵六家車站-竹中車站-(同じホーム
　の反対側が內灣線専用ホーム)-竹東車站と電車で行って、駅前からタクシーを利用されるのもよろしいかと思いま
　す。